<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% 表題  3 次元非静力学モデル deepconv -- 数理モデル
%       付録 A-1 準圧縮方程式系の導出 - 基礎方程式系- 
% 
% 履歴  2005/11/15 杉山耕一朗
%       2006/03/12 杉山耕一朗
%       2007/06/22 小高正嗣
%       2012/04/18 小高正嗣      3 次元化
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の分子量
の差は密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような系を考える. こ
の系では大気の熱エネルギーは乾燥大気の熱エネルギーで決まることになる.
このような系では温位 $\theta$ を保存量として用いることができる.


\subsection{気温 $T$, 密度 $\rho$, 風速 $u, v, w$ を予報変数とする場合}

水平鉛直 3 次元大気の状態を, 気温 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, v, w$, 密度
$\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.
%
\begin{description}
%
 \item[運動方程式]~
%
\begin{eqnarray}
&amp;&amp; \DD{u}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{x} = Turb.u 
  \Deqlab{equations:u} \\
&amp;&amp; \DD{v}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{y} = Turb.v
  \Deqlab{equations:v} \\
&amp;&amp; \DD{w}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{z} = -g + Turb.w
  \Deqlab{equations:w} 
\end{eqnarray}
%
 \item[連続の式]~
%
\begin{eqnarray}
 \DD{\rho}{t} + \rho\left( \DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z}\right) = 0
  \Deqlab{equations:continue}
\end{eqnarray}
%
 \item[密度の式(状態方程式)]~
%
\begin{eqnarray}
 \rho = \frac{p}{R_{d} T_{v}}
  \Deqlab{equations:rho}
\end{eqnarray}
%
 \item[熱の式]~
%
\begin{eqnarray}
 {c_{p}}_{d}\DD{T}{t} - \Dinv{\rho_{d}} \DD{p}{t} = Q + Turb.T
  \Deqlab{equations:T}
\end{eqnarray}
%
 \item[凝縮成分の混合比保存式]~
%
\begin{eqnarray}
&amp;&amp; \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}
  \Deqlab{equations:qv} \\
&amp;&amp; \DD{q_{c}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}
  \Deqlab{equations:qc} \\
&amp;&amp; \DD{q_{r}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}
  \Deqlab{equations:qr}
\end{eqnarray}
%
\end{description}
%
ここで $R_{d}$, ${c_{p}}_{d}$, $\rho_{d}$ は単位質量当たりの乾燥成分の
気体定数, 定圧比熱, 密度であり, $Q$ は非断熱加熱, $q_{v}$ は気体成分の
混合比, $q_{c}$ は雲水混合比, $q_{r}$ は雨水混合比である.  $q_{v},
q_{r}, q_{c}$ は, 凝縮成分の数だけ存在する.  $Turb$, $Src$, $Fall$ を付
けた項はそれぞれ拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する.

密度の式には凝縮成分の混合比が考慮されている. 
%
\begin{eqnarray}
 \rho &amp;=&amp; \rho_{d} + \sum \rho_{v} + \sum \rho_{c} + \sum \rho_{r}
  \nonumber \\
 &amp;=&amp; \rho_{d} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} ). 
  \Deqlab{rho:rho}
\end{eqnarray}
%
ただし, $q_v = \rho_v/\rho_{d}$, $q_{c}$, $q_{r}$ はそれぞれ凝縮性気体,
雲水, 雨水の混合比を意味する. ここで乾燥成分の分圧 $p_{d}$ は.
%
\begin{eqnarray}
 p_{d} 
  &amp;=&amp; p \left( 1 - \frac{\sum p_{v}}{p} \right) \nonumber
  \\
 &amp;=&amp; p \left( 1 - \frac{\sum p_{v}}{p_{d} + \sum p_{v} }\right) \nonumber
  \\
 &amp;=&amp; p \left( 1 - \frac{\sum \rho_{v} R_{v} T}{\rho_{d} R_{d}T + \sum
	\rho_{v} R_{v} T }\right) \nonumber
  \\
 &amp;=&amp; p \left( 1 - \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}
	}\right)
 \nonumber
\end{eqnarray}
%
となるので, 
%
\begin{eqnarray}
 \rho_{d} 
  = \frac{p_{d}}{R_{d} T}
  = \frac{p}{R_{d} T} \left(\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}
	}\right)
  \Deqlab{rho:rho_d}
\end{eqnarray}
%
である. 但し $M$ は分子量を表し, 凝縮成分の体積は無視できるものと見なした. 
\Deqref{rho:rho}, \Deqref{rho:rho_d} 式より, 
%
\begin{eqnarray}
 \rho &amp;=&amp; \frac{p}{R_{d}T}
  \left( \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right)
  (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} )
\Deqlab{rho:p-T_1}
\end{eqnarray}
%
となる. 
%
\begin{eqnarray}
 f \equiv  
  \left(\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}	}\right)
  (1 + \sum q_{v} + \sum q_{x} )
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
と定義すると, \Deqref{rho:p-T_1} 式は以下のように書ける. 
%
\begin{eqnarray}
 \rho &amp;=&amp; \frac{p}{R_{d} (T/f)}
\Deqlab{rho:p-T}
\end{eqnarray}
%
また, 温位とエクスナー関数を用いて表現すると, 
%
\begin{eqnarray}
 \rho 
  &amp;=&amp; \frac{p}{R_{d} \pi (\theta /f )}
  \nonumber \\
  &amp;=&amp; \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} (\theta/f)}
\Deqlab{rho:p-theta}
\end{eqnarray}
%
である. 但しエクスナー関数 $\pi$ は $\pi = T/\theta$ の関係を満たす. 

温位は乾燥断熱状態における保存量である. 乾燥断熱状態を表す熱力学の式は
%
\begin{eqnarray}
 c_{p}dT - \alpha dp = 0
\Deqlab{theta1}
\end{eqnarray}
% 
である. ここで $T$ は温度, $p$ は圧力, $c_{p}$ は単位質量当たりの比熱,
$\alpha$ は比容である. \Deqref{theta1} 式の $\alpha$ は, 理想気体の状態
方程式を用いると,
%
\begin{eqnarray}
 \alpha = \frac{RT}{p}
 \Deqlab{theta2}
\end{eqnarray}
%
と書ける. ここで $M$ は分子量, $R$ は気体定数である. \Deqref{theta1} 式
に \Deqref{theta2} 式を代入し整理すると,
%
\begin{eqnarray}
 \frac{c_{p}}{T}dT - \frac{R}{p} dp = 0
\Deqlab{theta3}
\end{eqnarray}
% 
となる. 凝縮を生じない場合には気塊の組成は変化しないので$c_{p}$ と $R$
は共に $p$ に依存しない. 一般に $c_{p}$ は $T$ の関数であるが,
{\bf \boldmath $c_{p}$ を定数とみなすと},
%
\begin{eqnarray}
\int^{T_{0}}_{T} \Dinv{T}dT 
 &amp;=&amp; \frac{R}{c_{p}} \int^{p_{0}}_{p} \Dinv{p} dp \nonumber \\
\ln{(T_{0}/T)}
 &amp;=&amp; \frac{R}{c_{p}} \ln{(p_{0}/p)} \nonumber \\
 \theta 
 &amp;=&amp; T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^\frac{R}{c_{p}} 
\Deqlab{theta4}
\end{eqnarray}
% 
となり, 温位が得られる. 



\subsection{温位 $\theta$, 圧力 $p$, 風速 $u, v, w$ を予報変数とする場合}

水平鉛直 3 次元大気の状態を温位 $\theta$, 圧力 $p$, 風速 $u, v, w$, 密
度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.  CReSS(坪木と
榊原, 2001)では, この基礎方程式を用いている.
%
\begin{description}
%
 \item[運動方程式]~
%
\begin{eqnarray}
&amp;&amp; \DD{u}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{x} = Turb.u 
  \Deqlab{equations:u-w-p-theta:u} \\
&amp;&amp; \DD{v}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{y} = Turb.v
  \Deqlab{equations:u-w-p-theta:v} \\
&amp;&amp; \DD{w}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{z} = - g + Turb.w
  \Deqlab{equations:u-w-p-theta:w} 
\end{eqnarray}
%
 \item[圧力方程式]~
%
\begin{eqnarray}
 \DD{p}{t} = \rho {C_{s}}^{2} 
  \left\{
   - \Ddiv{\Dvect{u}}
   + \Dinv{\theta}\DD{\theta}{t} 
   - \Dinv{f} 
   \left( 
     \sum \DP{f}{q_{v}} \DD{q_{v}}{t}
    + \sum  \DP{f}{q_{c}} \DD{q_{c}}{t}
    + \sum  \DP{f}{q_{r}} \DD{q_{r}}{t}
   \right)
  \right\} 
\end{eqnarray}
%
 \item[密度の式(状態方程式)]~
%
\begin{eqnarray}
 \rho = \frac{p_{0}}{R_{d} \theta_{v}}
  \left( \frac{p}{p_{0}}\right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}
  \Deqlab{equations:rho}
\end{eqnarray}
%
 \item[熱の式]~
%
\begin{eqnarray}
 \DD{\theta}{t} = Q + Turb.\theta
  \Deqlab{equations:u-w-p-theta:theta}
\end{eqnarray}
%
 \item[凝縮成分の混合比の保存式]~
%
\begin{eqnarray}
&amp;&amp; \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}
  \Deqlab{equations:u-w-p-theta:qv} \\
&amp;&amp; \DD{q_{c}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}
  \Deqlab{equations:u-w-p-theta:qc} \\
&amp;&amp; \DD{q_{r}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}
  \Deqlab{equations:u-w-p-theta:qr}
\end{eqnarray}
%
\end{description}
%
ただし温位 $\theta$ は
%
\begin{eqnarray}
 \theta \equiv T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}}
  \Deqlab{equations:theta}
\end{eqnarray}
であり, 仮温位 $\theta_{v}$ は, 
%
\begin{eqnarray}
 \theta_{v} \equiv \frac{\theta}{f}
\end{eqnarray}
%
である. 音速 $C_{s}$ は
%
\begin{eqnarray}
 {C_{s}}^{2}
  \equiv  \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} T_{v}
  =   \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \frac{T}{f}
\end{eqnarray}
%
である. ${c_{p}}_{d}$ と ${c_{v}}_{d}$ はそれぞれ単位質量当たりの乾燥成
分の定圧比熱と定積比熱であり, ${c_{v}}_{d} + R_{d} = {c_{p}}_{d}$ とい
う関係にある.

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を
$\rho= \rho(\theta,p,q_{v},q_{x})$ として $\rho$ の全微分を求める.
%
\begin{eqnarray}
 d\rho 
  &amp;=&amp;d \left[
	\frac{p_{0}}{R_{d} \theta_{v}} 
	\left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}	
     \right]
\nonumber \\
  &amp;=&amp;d \left[
	\frac{p_{0}}{R_{d} (\theta / f) } 
	\left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}	
     \right]
\nonumber \\
 &amp;=&amp; 
  \frac{p_{0} }{R_{d} (\theta/f)} 
      \frac{{c_{v}}_{d}}{{c_{p}}_{d}}
      \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{-R_{d}/{c_{p}}_{d}}
      \Dinv{p_{0}}dp
-
      \frac{p_{0} f}{R_{d}}
      \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}
       \frac{d\theta}{\theta^{2}}
\nonumber \\
  &amp;&amp;+ 
   \frac{p_{0}}{R_{d} \theta} 
      \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}
      \left\{
       \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
       + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
       + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
      \right\}
\nonumber \\
 &amp;=&amp; 
  \Dinv{{C_{s}}^{2}} dp
  - \frac{\rho}{\theta} d\theta
  + \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
  + \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
  + \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
\Deqlab{pressure:theta-p:drho}
\end{eqnarray}
%
となる. \Deqref{pressure:theta-p:drho} 式を圧力の式として整理すると, 
%
\begin{eqnarray}
\DD{p}{t}
 = {C_{s}}^{2} 
 \left(
    \DD{\rho}{t}
  + \frac{\rho}{\theta} \DD{\theta}{t} 
  - \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
  - \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
  - \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
 \right)
\nonumber
\end{eqnarray}
%
であり, 連続の式を用いると, 
%
\begin{eqnarray}
\DD{p}{t}
 = \rho {C_{s}}^{2} 
 \left(
  -  \Ddiv \Dvect{u}
  + \Dinv{\theta} \DD{\theta}{t} 
  - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
  - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
  - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
 \right)
\nonumber
\end{eqnarray}
%
となり, 圧力方程式が得られる. 


\subsection{温位 $\theta$, 無次元圧力 $\pi$, 風速 $u, v, w$ を予報変数とする場合}

水平鉛直 2 次元大気の状態を温位 $\theta$, 無次元圧力 $\pi$, 風速 $u,
v, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. 連続
の式 \Deqref{equations:continue} と状態方程式 \Deqref{equations:rho} を
用いることで得られる圧力方程式を利用する.  Klemp and Willhelmson
(1978)では, この基礎方程式を用いている.
%
\begin{description}
%
 \item[運動方程式]~
%
\begin{eqnarray}
&amp;&amp; \DD{u}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{x} = Turb.u 
  \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:u} \\
&amp;&amp; \DD{v}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{y} = Turb.v
  \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:u} \\
&amp;&amp; \DD{w}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{z} = -g + Turb.w
  \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:w} 
\end{eqnarray}
%
 \item[圧力方程式]~
%
\begin{eqnarray}
\DD{\pi}{t}
 =  \frac{{C_{s}}^{2}}{ {c_{p}}_{d}\theta_{v} }
 \left\{
  - \Ddiv \Dvect{u}
  + \Dinv{\theta}\DD{\theta}{t} 
  - \Dinv{f}
  \left(
     \sum \DP{f}{q_{v}} \DD{q_{v}}{t}
   + \sum \DP{f}{q_{c}} \DD{q_{c}}{t}
   + \sum \DP{f}{q_{r}} \DD{q_{r}}{t}
  \right)
 \right\}
  \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:continue}
\end{eqnarray}
%
 \item[状態方程式]~
%
\begin{eqnarray}
 \rho = \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} \theta_{v}}
  \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:rho}
\end{eqnarray}
%
 \item[熱の式]~
%
\begin{eqnarray}
 \DD{\theta}{t} = Q + Turb.\theta
  \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:theta}
\end{eqnarray}
%
 \item[水蒸気および水物質混合比の式]~
%
\begin{eqnarray}
&amp;&amp; \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}
  \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:qv} \\
&amp;&amp; \DD{q_{x}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}
  \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:qc} \\
&amp;&amp; \DD{q_{x}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{x} + Turb.q_{r}
  \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:qr}
\end{eqnarray}
%
\end{description}
%
ただし, エクスナー関数 $\pi$ は, 
%
\begin{eqnarray}
\pi \equiv \frac{T}{\theta} 
 = \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}} 
  \Deqlab{equations:pi}
\end{eqnarray}
%
であり, 音速 $C_{s}$ は
%
\begin{eqnarray}
 {C_{s}}^{2} 
  \equiv  \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi \theta_{v}
  =  \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi 
  \left( \frac{\theta}{f} \right)
\end{eqnarray}
%
である. 

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる. 
%
\begin{eqnarray}
 \Dinv{\rho} dp 
  &amp;=&amp; \frac{R_{d}  \pi (\theta/f)}{p} 
  d \left( 
     p_{0} \pi^{{c_{p}}_{d}/R_{d}}
    \right)
  \nonumber \\
 &amp;=&amp; \frac{R_{d}  \pi (\theta/f) }{p} 
  \left(
  \frac{p_{0} {c_{p}}_{d}}{R_{d}} \pi^{{c_{p}}_{d}/R - 1} 
  \right)
  d\pi
  \nonumber \\
 &amp;=&amp; \frac{R_{d}  \pi (\theta/f) }{p} 
  \left(
   \frac{{c_{p}}_{d}}{R_{d}} p \pi^{-1} 
  \right)d\pi
  \nonumber \\
 &amp;=&amp; {c_{p}}_{d} (\theta/f)   d\pi
  \nonumber \\
 &amp;=&amp; {c_{p}}_{d} \theta_{v}   d\pi
\end{eqnarray}
%


圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. 
まず密度を $\rho= \rho(\theta, \pi, q_{v}, q_{x})$ として  
$\rho$ の全微分を計算する. 
%
\begin{eqnarray}
 d\rho 
  &amp;=&amp;d \left[
      \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}}}{R_{d} \theta_{v}} 
     \right]
  \nonumber \\
  &amp;=&amp;d \left[
      \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}}}{R_{d} (\theta/f)} 
     \right]
  \nonumber \\
 &amp;=&amp; 
  \frac{p_{0}}{R_{d} (\theta/f) } 
  \pi^{(c_{v/R_{d}}-1)} 
  \frac{{c_{v}}_{d}}{R_{d}}
  d\pi
  -
      \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} f}{R_{d}}
       \frac{d\theta}{\theta^{2}}
\nonumber \\
  &amp;&amp;+ 
      \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} \theta} 
      \left( 
      \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
      + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
      + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
      \right)
\nonumber \\
 &amp;=&amp; 
  {c_{p}}_{d} (\theta/f)
  \left( \frac{{c_{v}}_{d}}{{c_{p}}_{d} R_{d} \pi (\theta/f) } \right)
  \left(\frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta/f)} \right)
  d\pi
  -
      \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta/f)}
       \frac{d\theta}{\theta}
\nonumber \\
  &amp;&amp;+ 
   \Dinv{f}
   \left(
    \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta / f)} 
   \right)
   \left(
    \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
    + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
    + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
   \right)
\nonumber \\
 &amp;=&amp; 
    \frac{ {c_{p}}_{d} \rho (\theta/f)}{{C_{s}}^{2} } d\pi
  - \frac{\rho}{\theta} d\theta
  + \rho \Dinv{f} 
  \left( 
   \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
   + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
   + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
  \right)
\nonumber \\
 &amp;=&amp; 
    \frac{ {c_{p}}_{d} \rho \theta_{v}}{{C_{s}}^{2} } d\pi
  - \frac{\rho}{\theta} d\theta
  + \rho \Dinv{f} 
  \left( 
   \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
   + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
   + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
  \right)
\Deqlab{pressure:theta-pi:drho}
\end{eqnarray}
%
となる. \Deqref{pressure:theta-pi:drho} 式を圧力の式として整理すると, 
%
\begin{eqnarray}
\DD{\pi}{t}
 = 
 \frac{{C_{s}}^{2} }{{c_{p}}_{d} \theta_{v} }
 \left\{
   \Dinv{\rho} \DD{\rho}{t}
  + \Dinv{\theta}\DD{\theta}{t} 
  - \Dinv{f}
  \left(
   \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
   + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
   + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
  \right)
\right\}
\Deqlab{pressure:theta-p:p}
\end{eqnarray}
%
となり, 連続の式を用いると, 
%
\begin{eqnarray}
\DD{\pi}{t}
 = \frac{{C_{s}}^{2} }{{c_{p}}_{d} \theta_{v} }
 \left\{
  - \Ddiv \Dvect{u} 
  + \Dinv{\theta}\DD{\theta}{t} 
  - \Dinv{f} 
  \left(
   \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
   + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
   + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
  \right)
\right\}
\Deqlab{pressure:theta-p:p}
\end{eqnarray}
%
となり, 圧力方程式が得られる. 
</pre></body></html>