<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%
% Chapter 2   Wave Motion in the Atmosphere  Part I
%             2-4 SOUND WAVES AND INTERNAL GRAVITY WAVES
%
% 2002/09/13  森川 靖大   作成
% 2002/09/18  森川 靖大   完成
% 2002/09/23  森川 靖大   修正
% 2002/09/26  森川 靖大   セミナーにて修正
%                         
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\markboth{3-4 音波と内部重力波}{3-4 音波と内部重力波}
%\markright{2-4 音波と内部重力波}
%\Ddate{2002/09/26}
%\Dfile{hw-02-04.tex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%
\setcounter{chapter}{3}
\setcounter{section}{3}
\setcounter{footnote}{0}
\setcounter{equation}{10}
%\setcounter{page}{1}
%\setcounter{figure}{0}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        Counter Output Format           %%%%%%%%
\def\thesection{\arabic{chapter}-\arabic{section}}
\def\thesubsection{\arabic{chapter}-\arabic{section}-\arabic{subsection}}
\def\theequation{\arabic{chapter}-\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}}
\def\thefigure{\arabic{chapter}-\arabic{figure}}
\def\thetable{\arabic{chapter}-\arabic{table}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%

\section{音波と内部重力波}

\begin{itembox}[l]{概要}
 重力波について考える.
 今回は前節の音波の話では扱わなかった重力を考慮する.
 重力を考慮した波動解と2-2節で得られた方程式系を使用して
 重力波に関する関係式を導き, 重力波について考察する.
 また, 大気大循環モデルにおける音波の取り扱いについても考察する.
\end{itembox}

{\bfseries 重力波}({\itshape gravity wave})は同じ高度にある
空気塊の密度の差から生じる重力の差によって発生する.
重力の効果を考える場合,
高さ$z$にのみ依存する$\overline{p}$と$\overline{\alpha}$
\footnote{
 上線は大気が安定成層状態である場合の値を意味する.
}
の静水圧平衡の式, 状態方程式を考える必要がある:
%
\begin{eqnarray}
 0 &amp;=&amp; - \overline{\alpha} \DP{\overline{p}}{z} - g,
  \nonumber \\
 \bar{p} \bar{\alpha} &amp;=&amp; R \overline{T}.
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
等温大気を考える場合, これらの式の解は
%
\begin{eqnarray}
 \bar{p} = \bar{p}(0) \ e^{-z/H},  \qquad
  \bar{\alpha} = \bar{\alpha} (0) \ e^{z/H}
\end{eqnarray}
%
となる. $H = R \overline{T} / g$ はスケールハイト
\footnote{
 {\bfseries スケールハイト}({\itshape scale height})とは
 (3-11)でも意味しているように,
 大気の圧力及び密度が$e^{-1}$倍となる高度である.
}
と呼ばれる量である.
これらの条件下でのある一つの波の波動解は以下のような形になる
\footnote{
 この$\overline{\alpha}^{1/2}$は上空ほど密度が小さく, 振幅が大きく
 なることを考慮にいれてつけられたものである.
 例えば$u'$によるエネルギーを例にとって考えると,
 $\overline{\rho} = \overline{\rho}_0 e^{-z/H}$なので
 $\overline{\rho} {u'}^{2} = \overline{\rho}_0 e^{-z/H} S^2 
  \overline{\rho}_0^{-1} e^{z/H} e^{2i \theta}
  = S^2 e^{2i \theta}$
 となり, 高度に依存する変数が無くなる.
 この$\overline{\alpha}^{1/2}$が高度による振幅の変化を吸収するため
 以降は高度による振幅の変化を考えずに済み, 計算も簡単になる.
}:
%
\begin{eqnarray}
 u' = S \overline{\alpha}^{1/2} e^{i(\mu x + k z + \nu t)}, \qquad &amp; &amp;
  w' = W \overline{\alpha}^{1/2} e^{i(\mu x + k z + \nu t)},
  \nonumber \\
 p' = P \overline{\alpha}^{1/2} e^{i(\mu x + k z + \nu t)}, \qquad &amp; &amp; 
  \alpha' = A \overline{\alpha}^{3/2} e^{i(\mu x + k z + \nu t)}.
\end{eqnarray}
%
これらを(3-2)に代入すると, 位置や時間の関数ではない要素
から成り立つ行列式が得られる.
%
\begin{eqnarray}
 \left[
  \begin{array}{cccc}
   - \nu &amp; 0 &amp; \mu &amp; 0 \\
   0 &amp; - \delta_1 \nu &amp;
    k + \frac{i}{2 \overline{\alpha}} \DP{\overline{\alpha}}{z} &amp; i g\\
   0 &amp; \left( - g + \frac{\gamma R \overline{T}}{\overline{\alpha}}
    \DP{\overline{\alpha}}{z} \right) i &amp; \nu &amp; \gamma R \overline{T} \nu \\
   \mu &amp; k + \frac{i}{2 \overline{\alpha}} \DP{\overline{\alpha}}{z} &amp;
    0 &amp; \delta_2 \nu 
  \end{array}
 \right]
 \left[
  \begin{array}{c}
   S \\ W  \\ P \\ A
  \end{array}
 \right]
 = 0.
\end{eqnarray}
%
ここでは$U$は単に$x$方向への伝播を加えるだけなので除外してある.
次に(3-11)を(3-13)に代入し, 行列式はゼロと等しいとすると,
次のような振動数の方程式が得られる:
%
\begin{eqnarray}
 \delta_1 \delta_2 \nu^{4} -
  \Big\{
   \gamma R \overline{T} \left( k^2 + \mu^2 \delta_1 \right)
   + \frac{g}{4H} \left[ (2 \delta_2 - 1) \gamma + 2 (1 - \delta_2 )\right]
   \nonumber \\
   + g (\gamma - 1)(\delta_2 - 1) i k
  \Big\} \nu^2
  + \mu^2 g^2 (\gamma - 1) = 0.
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
大抵の場合, 鉛直方向の波長$2 \pi / k$は$4 \pi H$に比べ小さいので,
$\nu^2$の係数項のうち$g$の項は$\gamma R \overline{T} k^2$との比較から
落とすことができる
\footnote{
 $2\pi / k \ll 4 \pi H$より$1/4H \ll k/2$なので$1/4H \ll k^2$であるため,
 $g/4H$の項は落とすことができる.
 また, $k$が大きいことから$k \ll k^2$なので3つ目の
 $g(\gamma - 1) \cdots$の項も落とすことができる.
}.
また, 最後の項は温位で書き直すことができる
\footnote{
 詳しくは {\bfseries 3-4-A}参照. 
}.
書き直すと以下の式になる.
%
\begin{eqnarray}
 \delta_1 \delta_2 \nu^4 - \gamma R \overline{T} (k^2 + \mu^2 \delta_1) \nu^2
  + \mu^2 \frac{\gamma R \overline{T} g}{\overline{\theta}}
  \DP{\overline{\theta}}{z} = 0.
\end{eqnarray}
%

この4つの根はそれぞれ音波のペアと
{\bfseries 内部重力波}({\itshape internal gravity wave})のペアである.
$g$をゼロにすることで重力波は取り除くことができる.
この結果は2-3節で得られたものと一緒である.
重力波だけにしたい場合は$\delta_2 = 0$(非圧縮), $\delta_1 = 1$とする.
すると以下の式が得られる.
%
\begin{eqnarray}
 \nu^2 = \frac{\displaystyle \mu^2 \frac{g}{\overline{\theta}}\DP{\overline{\theta}}{z}}{k^2 + \mu^2}.
\end{eqnarray}
%
(3-9)
\footnote{
 $c = \nu (k^2 + \mu^2)^{-1/2}$.
}
を使うと, 位相速度は
%
\begin{eqnarray}
 c = \pm \frac{\mu}{\mu^2 + k^2}
  \left(
   \frac{g}{\overline{\theta}} \DP{\overline{\theta}}{z}
  \right)^{1/2}
\end{eqnarray}
%
となる
\footnote{
 位相速度が波数$\mu$, $k$に依存していることから内部重力波は
 分散波であることがわかる.
 これは分散関係の式(3-15)からもわかる.

 余談だが, 音波は2-3節の分散関係の式(3-7), 位相速度(3-10)から
 分散波ではないことがわかる.
}.
この公式は等温条件下でなくても適当な近似をおこなうことで
得ることができる
\footnote{
 等温という条件を使わない場合はまず(3-11)における
 $\overline{p}$と$\overline{\alpha}$の解は
 別の形となる. その結果, (3-12), (3-13)が本文のものとは多少異なってくる.
 しかし, (3-14)を導出する際におこなった近似でそれらの異なった部分を
 落とすと, 結局等温大気と同じ分散関係が得られる.
 詳しくは田中(1975)を参照のこと.
}.
これらの重力振動
は温度減率が$\partial \overline{\theta} / \partial z &gt; 0$の場合
\footnote{
 このことを{\itshape subadiabatic}という.
}
は安定である.
逆に$\partial \overline{\theta} / \partial z &lt; 0$の場合
\footnote{
 このことを{\itshape superadiabatic}という.
}
は擾乱が増幅する
\footnote{
 $\partial \overline{\theta} / \partial z &lt; 0$の場合は
 (3-15)より$\nu$は虚数となる.
 簡単のためこの場合の$\nu$を$\nu = \nu_r i$とすると($\nu_r$は実数),
 波動解の指数部分は$e^{i(\mu x + k z) - \nu_r t}$となり,
 $t$については振動せずに増幅(もしくは減衰)する.
}.

擾乱の鉛直スケール
\footnote{
 $z$方向の擾乱のことである.
}
が水平スケールに比べて大きい場合, すなわち$\mu^2 \gg k^2$
である場合は(3-15)から
%
\begin{eqnarray}
 \nu \doteq \pm
  \left(
   \frac{g}{\overline{\theta}}
   \DP{\overline{\theta}}{z}
  \right) ^{1/2}
\end{eqnarray}
%
である.
これは鉛直方向の振動の振舞を表す
{\bfseries ブラント-バイサラ振動数}({\itshape Brunt-Vaisala frequency})
\footnote{
 {\bfseries ブラント-バイサラ振動数}({\itshape Brunt-Vaisala frequency})
 は{\bfseries 浮力振動数}({\itshape buoyancy frequency})
 とも呼ばれる. 九大 大気海洋環境システム専攻(2001)を参照のこと.
}
と呼ばれる.

一方, 鉛直スケールが水平スケールよりはるかに小さい場合, 静水圧平衡近似が
成り立ち, (3-14)において$\delta_1$はゼロとなる.
この場合, 振動数は
%
\begin{eqnarray}
 \nu^2 = \frac{\mu^2}{k^2} \frac{g}{\overline{\theta}}
  \DP{\overline{\theta}}{z}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
となる. この式は$k^2 \gg \mu^2$を用いて(3-15)から求めることもできる.
鉛直方向の変化に伴う水平伝播の解は以下のように
$+ k$と$- k$の解を足し合わせることで作ることができる
\footnote{
 こうすることによって鉛直方向の構造は水平方向の構造や時間からは
 独立になる.
 つまり, $x$と$t$だけで波の伝播を考えることができるようになる.
}:
%
\begin{eqnarray}
 e^{i (\mu x + k z - \nu t)} + e^{i (\mu x - k z - \nu t)}
  = 2 \cos kz \ e^{i (\mu x - \nu t)}.
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
この操作は$\nu$が$k$に対して独立である場合におこなうことができる
\footnote{
 $k$が$\mu$や$\nu$に依存している場合は本文のように$+k$と$-k$の2つを
 両方とも考えることはできない.
 ($\mu$や$\nu$によって$k$が決定してしまうから)
}.
この場合には伝播は水平方向にのみ起こり, 位相速度は
%
\begin{eqnarray}
 c = \frac{\nu}{\mu} =
  \pm \frac{1}{k}
  \left(
   \frac{g}{\overline{\theta}} \DP{\overline{\theta}}{z}
  \right)^{1/2}
\end{eqnarray}
%
となる
\footnote{
 (3-8) $c = \nu \mathcal{L} / 2 \pi$より, ここでは水平方向の位相速度のみ
 を考えているので$\mathcal{L} = 2 \pi /\mu$なので
 $c = \nu/\mu$となる.

 また, 以前に求めた
 $\nu^2 = (\mu ^2 g / k^2 \overline{\theta})
 (\partial \overline{\theta}/ \partial z)$
 を前述した式に代入することで(3-18)は導出できる.
}.
$k$の正負に関わらず, $\nu$は正負のペアの解
$\nu = \pm (\mu / k)\Big\{( g / \overline{\theta})
(\partial \overline{\theta}/ \partial z)\Big\}^{1/2}$
を持つため, (3-18)で$c$は正負の2つの解を持つ.
(3-14)における音波と重力波の解はそれぞれに分けて取り出すことができる.
$\nu^2$が大きいと仮定することで音波だけを, $\nu^2$が小さいと仮定することで
重力波だけを取り出すことができる
\footnote{
 $\nu$(振動数)が大きい場合を仮定するということは,
 高周波の波だけを取り出すということである.
 つまり, 高周波の波だけをとりだすと音波が取り出せ, 低周波の波をだけ
 取り出すと内部重力波が得られるということである.
 「重力を取り除くと音波のみが取り出せ, 非圧縮にすると内部重力波
 が取り出せる」ということはこの節で前述したが, このように
 振動数(周波数)による区別によっても音波と内部重力波を分離することが
 できる.
}
\footnote{
 $\nu^2$が大きいと仮定すると(3-14)の左辺第3項は第1, 第2項と比べて小さい
 ので落とすことができ, 結果として音波の解だけが残る.
 一方$\nu^2$が小さいと仮定すると左辺の第1項は第2項, 第3項に比べて小さい
 ので落とすことができ, 結果として重力波の解のみが残る.
}.

音波が目立って重要な力学的役割を果たすような気象現象は無い.
そのため方程式系からは音波を取り除いた方が望ましい場合が多い
\footnote{
 音波を取り除けばそれだけ数値計算が簡単になる.
 詳しいことは松井 他(1996)や
 九大 大気海洋環境システム専攻(2001)を参照のこと.
}.
(3-14)で見られるように, 静水圧近似($\delta_1 = 0$)または
非圧縮($\delta_2 = 0$)を使った場合は音波は除外される.
内部重力波は熱対流や山岳波といったスケールの小さい大気の運動では
重要な役割を果たす.
適切な条件
\footnote{
 群速度が上向きになるような条件のこと.
}
を与えれば内部重力波は大気中においてエネルギーを
上方向に伝播する
\footnote{
 この内部重力波によるエネルギーの伝播については
 九大 大気海洋環境システム専攻(2001)を
 参照のこと.
}.
重力波はその他に{\bfseries 地衡風調節}
({\itshape geostrophic adjustment})と呼ばれる役割も果たす.
これについては後で2-8節にて議論する.

大気の大規模循環モデルでは静水圧平衡を近似するためほとんどの音波は
除外できる.
しかし, 中には静水圧平衡を用いても除外できない特殊な音波もある.
それが{\bfseries ラム波}({\itshape Lamb wave})である.
以下ではこのラム波について考える.
方程式(3-2)は(3-12)のような形の解以外にも等温大気における
波動解を持っている.
ここで考える波は鉛直速度を持たず, 水平方向に音速で伝播する.
以下の解を(3-2)に直接代入することで, これらの解が(3-2)を満たす
ことがわかる
\footnote{
 実際に(3-19)を(3-2)に代入してみた結果に関しては
 {\bfseries 3-4-B}を参照のこと.
}:
%
\begin{eqnarray}
 u' &amp;=&amp; S e^{(\gamma - 1) z/ \gamma H} e^{i \mu (x - ct)},
  \nonumber \\
 w' &amp;=&amp; 0,
  \nonumber \\
 p' &amp;=&amp; P e^{-z/ \gamma H} e^{i \mu (x - ct)},
  \nonumber \\
 \alpha ' &amp;=&amp; A e^{(2 \gamma - 1) z / \gamma H} e^{i \mu (x - ct)}.
\end{eqnarray}
%
ここでは$c = \pm \sqrt{\gamma R \overline{T}}$である.
この解がラム波である
\footnote{
 $W = 0$という条件をつけた音波(つまりはラム波なわけだが)の
 分散関係の導出に関しては{\bfseries 3-4-C}参照.
}.
この波は自動的に$w=0$が境界において成り立つという条件を満たす.
この解は後の節で議論する{\bf 外部重力波}({\it external gravity wave\/})
と非常に良く似ている.
このラム波は大気中においてエネルギーをほとんど輸送しないが,
数値予報モデルでは重要である.
なぜなら, ラム波によって静水圧の式の数値積分における最大の
タイムステップに厳しい制限が加わるからである
\footnote{
 ラム波と数値計算との関係については{\bfseries 3-4-D}参照.
}.




%\begin{center}
% {\bf 
% --------------------------------------
% 本文ここまで
% --------------------------------------
% } 
%\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             以下はAppendix             %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%   Appendix 用に Counter, OutputFormat を設定   %%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%
%\setcounter{chapter}{2}
%\setcounter{section}{0}
%\setcounter{footnote}{0}
\setcounter{equation}{0}
%\setcounter{page}{1}
\setcounter{figure}{0}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        Counter Output Format           %%%%%%%%
\def\theequation{A-\arabic{equation}}
%\def\thesection{\arabic{chapter}-\arabic{section}}
%\def\thesubsection{\arabic{chapter}-\arabic{section}-\arabic{subsection}}
\def\thefigure{A-\arabic{figure}}
\def\thetable{A-\arabic{table}}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      3-4-A      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{3-4-A\qquad (3-14)の最後の項の導出}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}
\def\theequation{3-4-A-\arabic{equation}}
\def\thefigure{3-4-A-\arabic{figure}}

行列式(3-13)から求めた関係式の最後の項
$\mu^2 g^2 (\gamma -1)$から(3-14)の最後の項
$\displaystyle \mu^2 \frac{\gamma R \overline{T} g}{\overline{\theta}}
\DP{\overline{\theta}}{z}$への変形をおこなう.

温位の関係式
\footnote{
 $\overline{\theta}, \overline{T}, \overline{p}$はそれぞれ
 安定成層状態での温位, 温度, 気圧を意味する.
}
$\overline{\theta} = \overline{T}(p_s/\overline{p})^{\kappa}$
を$z$で積分すると,
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\overline{\theta}}{z} &amp;=&amp;
  \overline{T} p_s^{\kappa} \DP{\overline{p}^{-\kappa}}{z}
  \nonumber \\
 &amp;=&amp; - \overline{T} \left( \frac{p_s}{\overline{p}} \right)^{\kappa}
  \frac{\kappa}{\overline{p}} \DP{\overline{p}}{z}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
となる. ここで静水圧の関係式
$\partial \overline{p} / \partial z = - g / \overline{\alpha}$
とさきほど使用した温位の関係式を用いると,
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\overline{\theta}}{z} &amp;=&amp;
  \overline{\theta} \frac{\kappa g}{\bar{p} \bar{\alpha}}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
となる. さらに静水圧平衡の式
$\bar{p} \bar{\alpha} = R \overline{T}$を使うことで,
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\overline{\theta}}{z} &amp;=&amp;
  \overline{\theta} \frac{\kappa g}{R \overline{T}}
  \nonumber \\
 \frac{\gamma R \overline{T} g}{\overline{\theta}}
  \DP{\overline{\theta}}{z}
 &amp;=&amp;
  g^2 \gamma \left( \frac{R}{c_p} \right)
  \nonumber \\
 &amp;=&amp;
  g^2 \gamma \left( \frac{c_p - c_v}{c_p} \right)
  \nonumber \\
 &amp;=&amp;
  g^2 \gamma \left( 1- \frac{c_v}{c_p} \right)
  \nonumber \\
 &amp;=&amp;
  g^2 \gamma \left( 1- \frac{1}{\gamma} \right)
  \nonumber \\
 &amp;=&amp;
  g^2 \left( \gamma -1 \right)
  \nonumber \\
 \mu^2 \frac{\gamma R \overline{T} g}{\overline{\theta}}
  \DP{\overline{\theta}}{z}
 &amp;=&amp;
  \mu^2 g^2 \left( \gamma -1 \right)
\end{eqnarray}
%
となることがわかる.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      3-4-B      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{3-4-B\qquad ラム波の解}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}
\def\theequation{3-4-B-\arabic{equation}}
\def\thefigure{3-4-B-\arabic{figure}}

ラム波の解(3-19)が方程式(3-2)を満たすことを示す.

以下の(3-2)の式:
%
\begin{eqnarray}
  \DP{u'}{t} + U \DP{u'}{x} + \overline{\alpha} \DP{p'}{x}
 &amp;=&amp; 0,
 \nonumber \\
  \delta_1
   \left(
    \DP{w'}{t} + U \DP{w'}{x}
   \right)
  + \overline{\alpha} \DP{p'}{z}
  - \frac{g \alpha ' }{\overline{\alpha}}
 &amp;=&amp; 0,
 \nonumber \\
 \Deqlab{hw-02-04-摂動線形方程式}
  \overline{\alpha}
  \left(
   \DP{p'}{t} + U \DP{p'}{x}
  \right)
  - g w'
  + \overline{p} \gamma
   \left(
    \DP{\alpha '}{t} + U \DP{\alpha'}{x} + w' \DP{\overline{\alpha}}{z}
   \right)
 &amp;=&amp; 0,
  \\
 \left(
  \DP{u'}{x} + \DP{w'}{z}
 \right)
 \overline{\alpha}
 - \delta_2
  \left(
   \DP{\alpha '}{t} + U \DP{\alpha '}{x}
  \right)
 - w' \DP{\overline{\alpha}}{z}
 &amp;=&amp; 0
 \nonumber
\end{eqnarray}
%
に以下のラム波の解(3-19)を代入する.
%
\begin{eqnarray}
 u' &amp;=&amp; S e^{(\gamma - 1) z/ \gamma H} e^{i \mu (x - ct)},
  \nonumber \\
 w' &amp;=&amp; 0,
  \nonumber \\
 p' &amp;=&amp; P e^{-z/ \gamma H} e^{i \mu (x - ct)},
  \nonumber \\
 \Deqlab{hw-02-04-ラム波の解}
  \alpha ' &amp;=&amp; A e^{(2 \gamma - 1) z / \gamma H} e^{i \mu (x - ct)}.
\end{eqnarray}
%
したがって, \Deqref{hw-02-04-摂動線形方程式}のそれぞれの式は
%
\begin{eqnarray}
 c S e^{z/H} - \overline{\alpha} P &amp;=&amp; 0,
  \nonumber \\
 (\overline{\alpha} / \gamma H) P
  + (g / \overline{\alpha}) A e^{2 z / H} &amp;=&amp; 0,
  \nonumber \\
 \overline{\alpha} c P + \overline{p} \gamma c A e^{2z / H} &amp;=&amp; 0,
  \nonumber \\
 \overline{\alpha} S e^{z/H} + c A e^{2z / H} &amp;=&amp; 0.
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
となる. なお, $U = 0$としている. 行列形式で書くと,
%
\begin{eqnarray}
 \left[
  \begin{array}{ccc}
   c e^{z/H} &amp; - \overline{\alpha} &amp; 0 \\
   0 &amp; \overline{\alpha} / \gamma H &amp; (g / \overline{\alpha}) e^{2z/H} \\
   0 &amp; \overline{\alpha} c &amp; \overline{p} \gamma c e^{2z/H}\\
   \overline{\alpha} e^{z/H} &amp; 0 &amp; c e^{2z/H} \\
  \end{array}
 \right]
 \left[
  \begin{array}{c}
   S \\ P \\ A
  \end{array}
 \right]
 = 0
\end{eqnarray}
%
となる. この行列式を展開すると, 
%
\begin{eqnarray}
 (\overline{\alpha} / \gamma H) \overline{p} \gamma c e^{2z/H}
  - \overline{\alpha} c (g/\overline{\alpha}) e^{2z/H}
 &amp;=&amp; c e^{2z/H}
  \left\{
   \bar{\alpha} \bar{p}/H - g
  \right\}
  \nonumber \\
 &amp;=&amp; c e^{2z/H}
  \left\{
   g (\bar{\alpha} \bar{p}/ R \overline{T}) - g
  \right\}
  \nonumber \\
 &amp;=&amp; 0
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
となる. 途中で状態方程式$\bar{p} \bar{\alpha} = R \overline{T}$と
スケールハイト$H = R \overline{T} / g$を利用した.

これによって, ラム波の解(3-19)が(3-2)を満たすことが示された.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      3-4-C      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{3-4-C\qquad ラム波の分散関係の導出}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}
\def\theequation{3-4-C-\arabic{equation}}
\def\thefigure{3-4-C-\arabic{figure}}

$W = 0$の波であるラム波の分散関係を導出する.
$W = 0$として鉛直方向の運動方程式を考えない場合, (3-13)は
以下のようになる.
%
\begin{eqnarray}
 \left[
  \begin{array}{ccc}
   - \nu &amp; \mu &amp; 0 \\
   0 &amp; \nu &amp; \gamma R \overline{T} \nu \\
   \mu &amp; 0 &amp; \delta_2 \nu \\
  \end{array}
 \right]
 \left[
  \begin{array}{c}
   S \\ P \\ A
  \end{array}
 \right]
 = 0.
 \nonumber
\end{eqnarray}
%
この行列式がゼロと等しいとすると, 以下の関係式が導かれる.
%
\begin{eqnarray}
 \nu \left\{ \delta_2 \nu^2 - \mu^2 \gamma R \overline{T} \right\} = 0.
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
非圧縮($\delta_2 = 1$)である場合は以下の分散関係式が導かれる.
%
\begin{eqnarray}
 \nu = \pm \mu \sqrt{\gamma R \overline{T}}.
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
(3-7)
\footnote{
 $c = \nu / \sqrt{k^2 + \mu^2}.$
}
を利用することでラム波の位相速度が得られる:
%
\begin{eqnarray}
 c = \pm \sqrt{\gamma R \overline{T}}.
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
この解は全く音波と同じである. (ラム波も音波なのだから当然).
ただし, ラム波が音波と違う所は静水圧平衡の近似では消滅しない点である.
このおかげで, 数値計算においてはラム波を考慮する必要が生じるのである.



\subsubsection*{3-4-C-a \quad 鉛直方向への伝搬}

本文中ではラム波は水平方向にのみ伝搬すると述べている.
これはラム波が$W=0$であるという定義から知ることができる.
音波の同次方程式(3-4)の2つ目の式
\footnote{
 $(\mu U - \nu) W + \overline{\alpha} k P = 0$.
}
に$W=0$を用いると$\overline{\alpha} k P = 0$となる.
$\overline{\alpha}$や$P$は常にゼロとなるわけではないので
$k = 0$となる. つまり鉛直波数がゼロになるということなので
鉛直方向には波は伝播しないことがわかる.





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%%%%      3-4-D      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{3-4-D\qquad ラム波と数値計算との関係}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}
\def\theequation{3-4-D-\arabic{equation}}
\def\thefigure{3-4-D-\arabic{figure}}

本文でも述べているが, 数値計算をする際にはできるだけ音波は除いた方が
良い. 普通の音波は大規模モデルで使用する静水圧平衡近似によって
取り除かれるのだが, このラム波だけはこの近似によって取り除くことは
できない
\footnote{
 たいてい数値計算ではプリミティブ方程式系($p$を鉛直座標とした方程式系
 のこと. 1-9節参照)を使用する. この方程式系では一見したところ密度の項は
 方程式系から消えているが, 決して非圧縮を仮定したものではないので
 ラム波は消滅しない.
}.
以下ではなぜ音波を除くことが必要とされ, ラム波が残ってしまうことが問題と
なるのかを述べる.

数値計算では{\bfseries CFL条件}
({\itshape Courant-Friedrichs-Lewy condition})というものが
存在する. これは以下のような条件である.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-02-04-CFL条件}
  \Delta t &lt; \Delta x / c. \hspace{50mm}
  \\
 c: {\rm 速度}, \quad \Delta t : {\rm 数値積分のタイムステップ} , \quad
  \Delta x: {\rm 空間ステップ}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
この条件が満たされない場合, 数値計算は不安定になってしまう
\footnote{
 CFL条件に関しては岩崎(1997)を参照のこと.
}.
音波は内部重力波に比べて速度$c$が非常に大きいため,
音波を考慮した場合はタイムステップ$\Delta t$を小さくしなければ
ならない.
逆に言えば, ラム波を無視してタイムステップを大きく取ってしまった場合には
数値計算はどんどん不安定になってしまうわけである.
これが本文の「ラム波によって最大のタイムステップに厳しい制限が加わる」
ことの意味である.

なお, この節では高周波(音波), 低周波(内部重力波)や特殊な音波であるラム波
が登場したわけだが, 
\Dfigref{hw-02-04-内部重力波}は
これらの波の分散関係を表示したグラフである.
詳しくは小倉(1978)を参照してもらいたい.
%
\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/gravity_wave.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize 高周波, 低周波, ラム波の分散関係
  (小倉義光, 1978:
   気象力学通論.
   東京大学出版会, 249pp. より) .}
  }
  \Dfiglab{hw-02-04-内部重力波}
 \end{quote}
\end{figure}
%





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%%%%      Appendix        %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\subsection*{Appendix \qquad }

%\subsubsection*{}


%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
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</pre></body></html>