ロスビー波

ここではロスビー波をつかさどるもっとも単純な方程式を取り上げ,ロスビー波のイメージをつかむことにする.

1.1　基礎方程式, 線型化

系として $\beta$ 面上の2次元非発散系を考察する.支配方程式は次のように書きくだせる.

式1.1:

$\DP{u}{x} + \DP{v}{y} = 0,$

式1.2:

$\DP{u}{t} + u \DP{u}{x} + v \DD{u}{y} - fv = - \frac{1}{\rho} \DP{p}{x},$

式1.3:

$\DP{v}{t} + u \DP{v}{x} + v \DD{v}{y} + f u = - \frac{1}{\rho} \DP{p}{y}.$

[*1] この導出についてはシリーズ `2次元非圧縮流体の支配方程式'を参照せよ

式1.4:

$\DP{u}{x} + \DP{v}{y} = 0,$

式1.5:

$\DP{u}{t} + U \DP{u}{x} + v \DD{U}{y} - fv = - \frac{1}{\rho} \DP{p}{x},$

式1.6:

$\DP{v}{t} + U \DP{v}{x} + f u = - \frac{1}{\rho} \DP{p}{y}.$

式1.1 より流れ関数 $u = - \displaystyle{ \DP{\psi}{y} }$ , $v = \displaystyle{ \DP{\psi}{x} }$ を導入することができる.式1.4 〜式1.6より渦度方程式を作ると

式1.7:

$\left( \DP{}{t} + U \DP{}{x} \right) \left( \DP[2]{}{x} + \DP[2]{}{y} \right) \psi + \left(\beta - \DD[2]{U}{y}\right) \DP{\psi}{x} = 0.$

この方程式は, もともとのポテンシャル渦度保存則において,基本場のポテンシャル渦度を $\displaystyle{Q(y)= f(y) - \DD{U}{y} }$ ,擾乱のポテンシャル渦度は $q'= \nabla^2 \psi$ ,速度 $\displaystyle{ v = \DP{\psi}{x} }$ とした場合に相当する.

式1.8:

$\DP{u}{x} + \DP{v}{y} = 0,$

式1.9:

$\DP{u}{t} - fv = - \frac{1}{\rho} \DP{p}{x},$

式1.10:

$\DP{v}{t} + f u = - \frac{1}{\rho} \DP{p}{y}$

式1.11:

$\DP{}{t} \left( \DP[2]{}{x} + \DP[2]{}{y} \right)\psi + \beta \DP{\psi}{x} = 0.$

1.2　分散関係

分散関係式をもとめるために $\beta$ を一定とし,解として平面波の形 $\psi = \psi_{0}e^{i(kx+ly-\omega t)}$ を支配方程式に代入し整理すると,

式1.12:

$\omega = -\frac{\beta k}{k^2+l^2}.$

1.3　位相速度

式1.13:

$c_{px} \equiv \frac{\omega}{k} = -\frac{\beta}{k^2+l^2}, \quad c_{py} \equiv \frac{\omega}{l} = -\frac{\beta k}{l(k^2+l^2)}.$

1.4　群速度

式1.14:

$c_{gx} \equiv \DP{\omega}{k} = \frac{\beta (k^2-l^2)}{(k^2+l^2)^2}, \quad c_{gy} \equiv \DP{\omega}{l} = \frac{2 \beta k l}{(k^2+l^2)^2}.$

の波束は

軸正方向(東向き), k<l

の波束は

軸負方向(西向き)にエネルギーを伝播する.

$2次元非発散ロスビー波の分散関係(<span class="equation"><img src="images/_review_math/_gen_a63c618ce1f860e99b0f8e52934f0ab60096936bfba7c17363af0fcf7093743f.png" class="math_gen_a63c618ce1f860e99b0f8e52934f0ab60096936bfba7c17363af0fcf7093743f" alt="k-\omega" /></span> 面)$

図1.1: 2次元非発散ロスビー波の分散関係( $k-\omega$ 面)