3 支配方程式・力学過程

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0.4 はじめに

この章では支配方程式を離散化する. 空間に関する離散化である鉛直離散化と水平離散化の方法 並びに時間に関する離散化について記す. 8 88

0.5 鉛直離散化

ここでは支配方程式を鉛直方向に離散化する. Arakawa and Suarez(1983) に従って, 基礎方程式を鉛直方向に差分によって離散化する⁹. 各方程式の離散化表現は次のようになる.

0.5.1 連続の式, 鉛直速度

$$\frac{\partial \pi}{\partial t} = - \sum_{k=1}^{K} ( D_k + \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_k$$ (21)

$$\dot{\sigma}_{k-1/2} = - \sigma_{k-1/2} \frac{\partial \pi... ...}^{K} ( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_l$$ (22)

$$\dot{\sigma}_{1/2} = \dot{\sigma}_{K+1/2} = 0$$ (23)

0.5.2 静水圧の式

$$\Phi_{1} = \Phi_{s} + C_{p} ( \sigma_{1}^{-\kappa} - 1 ) T_{v,1}$$ (24)

$$= \Phi_{s} + C_{p} \alpha_{1} T_{v,1}$$

$$\Phi_k - \Phi_{k-1} = C_{p} \left[ \left( \frac{ \sigma_{k-1/2} }{ \sigma_k } \right)^{... ...eft( \frac{ \sigma_{k-1/2} }{ \sigma_{k-1} } \right)^{\kappa} \right] T_{v,k-1}$$ (25)

$$= C_{p} \alpha_k T_{v,k} + C_{p} \beta_{k-1} T_{v,k-1}$$

ここで,

$$\alpha_k = \left( \frac{ \sigma_{k-1/2} } { \sigma_k } \right)^{\kappa} -1$$ (26)

$$\beta_k = 1- \left( \frac{ \sigma_{k+1/2} } { \sigma_k } \right)^{\kappa} .$$ (27)

0.5.3 運動方程式

$$\frac{\partial \zeta_k}{\partial t} = \frac{1}{a(1-\mu^{2... ...partial (\mbox{\sl UA})_k}{\partial \mu} + {\cal D}(\zeta_k)$$ (28)

$$\frac{\partial D}{\partial t} = \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \... ...ppa}_k \bar{T}_k \pi + (\mbox{\sl KE})_k ) + {\cal D}(D_k)$$ (29)

ここで,

$$(\mbox{\sl UA})_k = ( \zeta_k + f ) V_k - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( U_{k-1} - U_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( U_k - U_{k+1} ) ]$$

$$- \frac{C_{p} \hat{\kappa}_k T_{v,k}'}{a} \frac{\partial \pi}{\partial \lambda} + F_{\lambda k} \cos \varphi$$ (30)

$$(\mbox{\sl VA})_k = - ( \zeta_k + f ) U_k - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( V_{k-1} - V_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( V_k - V_{k+1} ) ]$$

$$- \frac{C_{p} \hat{\kappa}_k T_{v,k}'}{a} ( 1 - \mu^{2} ) \frac{\partial \pi}{\partial \mu} + F_{\varphi k} \cos \varphi$$ (31)

ここで,

$$\hat{\kappa}_k = \frac{ \sigma_{k-1/2}( \sigma^{\kappa}_{k-1/2} - \sigma^{\kappa}_... ...^{\kappa}_{k+1/2} ) } { \sigma^{\kappa}_k ( \sigma_{k-1/2} - \sigma_{k+1/2} ) }$$

$$= \frac{ \sigma_{k-1/2} \alpha_k + \sigma_{k+1/2} \beta_k } { \Delta \sigma_k }$$ (32)

$$T_{v,k} = T_k - \bar{T}_k$$ (33)

$$(\mbox{\sl KE})_k = \frac{U^{2}_k+V^{2}_k}{2(1-\mu^{2}) }$$ (34)

0.5.4 熱力学の式

$$\frac{\partial T_k}{\partial t} = - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \frac{\partial U_k T_k'}{\partial \lambda} - \frac{1}{a} \frac{\partial V_k T_k'}{\partial \mu} + \hat{H}_k$$

$$+ \frac{Q_k}{C_{p}} + {\cal D}(T_k) + {\cal D}'(\Dvect{v})$$

ここで,

$$\hat{H}_k \equiv T_k' D_k - \frac{1}{\Delta \sigma_k} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( \hat{T}_{k-1/2} - T_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( T_k - \hat{T}_{k+1/2} ) ]$$

$$+ \left\{ \alpha_k \left[ \sigma_{k-1/2} \Dvect{v}_k \cdot \nabla... ...l=k}^{K} ( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_l \right] \right.$$

$$+ \left. \beta_k \left[ \sigma_{k+1/2} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \... ...\nabla \pi ) \Delta \sigma_l \right] \right\} \frac{1}{\Delta \sigma_k} T_{v,k}$$

$$= T_k' D_k - \frac{1}{\Delta \sigma_k} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( \hat{T}_{k-1/2} - T_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( T_k - \hat{T}_{k+1/2} ) ]$$

$$+ \hat{\kappa}_k \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi T_{v,k}$$

$$- \alpha_k \sum_{l=k}^{K} ( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_l \frac{T_{v,k}}{\Delta \sigma_k}$$

$$- \beta_k \sum_{l=k+1}^{K} ( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_l \frac{T_{v,k}}{\Delta \sigma_k}$$ (35)

$$\hat{T}_{k-1/2} = \frac{ \left[ \left( \frac{ \sigma_{k-1/2} } { \sigma_k } \right)... ...ight] \sigma_k^{\kappa} T_{k-1} } { \sigma_{k-1}^{\kappa} - \sigma_k^{\kappa} }$$ (36)

$$= a_k T_k + b_{k-1} T_{k-1}$$ (37)

$$a_k = \alpha_k \left[ 1- \left( \frac{ \sigma_k }{ \sigma_{k-1} } \right)^{\kappa} \right]^{-1}$$ (38)

$$b_k = \beta_k \left[ \left( \frac{ \sigma_k }{ \sigma_{k+1} } \right)^{\kappa} - 1 \right]^{-1} .$$ (39)

0.5.5 水蒸気の式

$$\frac{\partial q_k}{\partial t} = - \frac{1}{a(1-\mu^{2})}... ...al V_k q_k}{\partial \mu} + R_k + S_{q,k} + {\cal D}(q_k)$$ (40)

$$R_k = q_k D_k - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} [ \dot{\sigm... ... ( q_{k-1} - q_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( q_k - q_{k+1} ) ]$$ (41)

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0.6 水平離散化

ここでは支配方程式を水平離散化する. 水平方向の離散化はスペクトル変換法を用いる(Bourke, 1988). 経度, 緯度に関する微分の項は直交関数展開によって評価し, 一方, 非線型項は格子点上で計算する. 各方程式のスペクトル表現は以下のようになる.

0.6.1 連続の式

$$\DP{\tilde{\pi}_n^m}{t} = - \sum_{k=1}^{K} (\tilde{D}_n^m)_k \Delta \sigma_k$$

$$+ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} Z_{ij} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) w_j ,$$ (42)

ここで,

$$Z \equiv - \sum_{k=1}^{K} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi .$$ (43)

0.6.2 運動方程式

$$\DP{\tilde{\zeta}_n^m}{t} = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} im (\mbox{\sl VA})_{ij} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) \frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$$

$$+ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} (\mbox{\sl UA})_{ij} (1... ...rtial }{\partial \mu} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) \frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$$

$$+ \tilde{\cal D}_{M,n}^m \tilde{\zeta}_n^m ,$$ (44)

$$\DP{\tilde{D}_n^m}{t} = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} im (\mbox{\sl UA})_{ij} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) \frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$$

$$- \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} (\mbox{\sl VA})_{ij} (1... ...rtial }{\partial \mu} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) \frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$$

$$- \frac{n(n+1)}{a^{2}} \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} (\mbox{\sl KE})_{ij} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) w_j$$

$$+ \frac{n(n+1)}{a^{2}} ( \Phi_n^m + C_{p} \hat{\kappa}_k \bar{T}_k \pi_n^m ) + \tilde{\cal D}_{M,n}^m \tilde{D}_n^m ,$$ (45)

ただし,

$$\tilde{\cal D}_{M,n}^m = - K_{HD} \left[ \left( \frac{-n(n... ...\right)^{N_D/2} - \left( \frac{2}{a} \right)^{N_D} \right] .$$ (46)

0.6.3 熱力学の式

$$\DP{\tilde{T}_n^m}{t} = - \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} im U_{ij} T'_{ij} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) \frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$$

$$+ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} V_{ij} T'_{ij} (1-\mu... ...rtial }{\partial \mu} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) \frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$$

$$+ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} \left( \hat{H}_{ij} + \frac{Q_{ij}}{C_{p}} \right) Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) w_j$$

$$+ \tilde{\cal D}_{H,n}^m \tilde{T}_n^m$$

$$+ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} {\cal D}'_{ij}(\Dvect{v}) Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) w_j ,$$ (47)

ただし,

$$\tilde{\cal D}_{H,n}^m = - K_{HD} \left( \frac{-n(n+1)}{a^{2}} \right)^{N_D/2} .$$ (48)

0.6.4 水蒸気の式

$$\DP{\tilde{q}_n^m}{t} = - \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} im U_{ij} q_{ij} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) \frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$$

$$+ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} V_{ij} q_{ij} (1-\mu_... ...rtial }{\partial \mu} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) \frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$$

$$+ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} \left( \hat{R}_{ij} + S_{q,ij} \right) Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) w_j$$

$$+ \tilde{\cal D}_{H,n}^m \tilde{q}_n^m$$ (49)

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0.7 時間積分

ここでは時間積分スキームについて記す.

時間差分スキームは基本的に leap frog である. ただし, 拡散項および物理過程の項は後方差分もしくは前方差分とする. 計算モードを抑えるために時間フィルター(Asselin, 1972)を用いる. さらに$\Delta t$ を大きくとるために, 重力波の項に semi-implicit の手法を適用する(Bourke, 1988).

0.7.1 leap frog による時間積分と時間フィルター

移流項等の時間積分スキームとして leap frog を用いる. 水平拡散項には $2 \Delta t$ の後方差分を使用する. 物理過程の項( ${\cal F}_\lambda, {\cal F}_\varphi, Q, S_q$)には $2 \Delta t$ の前方差分を使用する. ただし, 鉛直拡散の時間変化項の計算に関しては後方差分的な取扱いをする. また, 対流・凝結過程に関しては 一度それらを考慮せずに時間積分して, その後で場を修正するという形式をとる(adjustment). 摩擦熱の項も補正として扱う.

各予報変数の総体を ${\cal A}$ と表すと,

$$\hat{\cal A}^{t+\Delta t} = \bar{\cal A}^{t-\Delta t} + ... ...t \dot{\cal A}_{phy}\left( \bar{\cal A}^{t-\Delta t} \right)$$ (50)

$\dot{\cal A}_{adv}$ は移流項等, $\dot{\cal A}_{dif}$ は水平拡散項, $\dot{\cal A}_{phy}$ は物理過程等による項である.

$\hat{\cal A}^{t+\Delta t}$ には, 摩擦熱( $\dot{\cal A}_{dis}$)および 対流・凝結過程( $\dot{\cal A}_{cnd}$)の補正が加えられ, ${\cal A}^{t+\Delta t}$ となる.

$${\cal A}^{t+\Delta t} = \hat{\cal A}^{t+\Delta t} + 2 \D... ...t \dot{\cal A}_{cnd}\left( \hat{\cal A}^{t+\Delta t} \right)$$ (51)

leap frog における計算モードの除去のために Asselin(1972) の時間フィルターを毎ステップ適用する.

すなわち,

$$\bar{\cal A}^{t} = ( 1-2 \epsilon_f ) {\cal A}^{t} + \eps... ...eft( \bar{\cal A}^{t-\Delta t} + {\cal A}^{t+\Delta t} \right)$$ (52)

と$\bar{\cal A}$を求める. $\epsilon_f$ としては標準的に 0.05 を使用する.

0.7.2 semi-implicit 時間積分

方程式系において, $T=\bar{T}_k$ であるような静止場を基本場とする 線型重力波項とそれ以外の項(添字$NG$を付ける)に分離する. 鉛直方向のベクトル表現 $\Dvect{D}=\{ D_{k} \}$, $\Dvect{T}=\{ T_{k} \}$ を用いて,

$$\DP{\pi}{t} = \left( \frac{\partial \pi}{\partial t} \right)_{NG} - \Dvect{C} \cdot \Dvect{D} ,$$ (53)

$$\frac{\partial \Dvect{D}}{\partial t} = \left( \DP{\Dvect... ...ine{W} \Dvect{T} + \Dvect{G} \pi ) + {\cal D}_M \Dvect{D} ,$$ (54)

$$\DP{\Dvect{T}}{t} = \left( \DP{\Dvect{T}}{t} \right)_{NG} - \underline{h} \Dvect{D} + {\cal D}_H \Dvect{T} ,$$ (55)

ここで, 非重力波項は,

$$\left( \DP{\pi}{t} \right)^{NG} = - \sum_{k=1}^{K} \Dvect{... ...k} \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_{k} \nonumber \\ = Z_{k}$$

$$\dot{\sigma}^{NG}_{k-1/2} = - \sigma_{k-1/2} \left( \DP{\p... ...um_{l=k}^{K} \Dvect{v}_{l} \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_{l}$$ (56)

$$\left( \DP{D}{t} \right)^{NG} = \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \D... ...a} \sum_{k=1}^{K} W_{kl} ( T_{v,l}-T_{l} ) + {\cal D}(D_{k})$$ (57)

$$\left( \DP{T_{k}}{t} \right)^{NG} \equiv - \frac{1}{a(1-\... ... + H_{k} + {\cal D}(T_{k}) + {\cal D}^{\prime}(\Dvect{v})$$ (58)

$$H_k = T_{k}^{\prime} D_{k}$$

$$- \frac{1}{\Delta \sigma_{k}} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( \hat{T^{\p... ...e}_{k} ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( T^{\prime}_{k} - \hat{T^{\prime}}_{k+1/2} ) ]$$

$$- \frac{1}{\Delta \sigma_{k}} [ \dot{\sigma}^{NG}_{k-1/2} ( \hat{... ...{T}_{k} ) + \dot{\sigma}^{NG}_{k+1/2} ( \bar{T}_{k} - \hat{\bar{T}}_{k+1/2} ) ]$$

$$+ \hat{\kappa}_{k} T_{v,k} \Dvect{v}_{k} \cdot \nabla \pi$$

$$- \frac{\alpha_{k}}{\Delta \sigma_{k} } T_{v,k} \sum_{l=k}^{K} \D... ...{k} } T_{v,k} \sum_{l=k+1}^{K} \Dvect{v}_{l} \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_{l}$$

$$- \frac{\alpha_{k}}{\Delta \sigma_{k} } T'_{v,k} \sum_{l=k}^{K} D... ...{\beta_{k}}{\Delta \sigma_{k} } T'_{v,k} \sum_{l=k+1}^{K} D_l \Delta \sigma_{l}$$ (59)

また, 重力波項のベクトルおよび行列(下線で表示)は,

$$C_{k} = \Delta \sigma_{k}$$ (60)

$$W_{kl} = C_{p} \alpha_{l} \delta_{k \geq l} + C_{p} \beta_{l} \delta_{k-1 \geq l}$$ (61)

$$G_{k} = \hat{\kappa}_{k} C_{p} \bar{T}_{k}$$ (62)

$$\underline{h} = \underline{Q}\underline{S} - \underline{R}$$ (63)

$$Q_{kl} = \frac{1}{\Delta \sigma_{k}} ( \hat{\bar{T}}_{k-1... ...{k}} ( \bar{T}_{k} - \hat{\bar{T}}_{k+1/2} ) \delta_{k+1=l}$$ (64)

$$S_{kl} = \sigma_{k-1/2} \Delta \sigma_{l} - \Delta \sigma_{l} \delta_{k \leq l }$$ (65)

$$R_{kl} = - \left( \frac{ \alpha_{k} }{ \Delta \sigma_{k} } ... ... \Delta \sigma_{l} \delta_{k+1 \leq l} \right) \bar{T}_{k} .$$ (66)

ここで, 例えば $\delta_{k \leq l}$ は, $k \leq l$ が成り立つとき 1, そうでないとき 0 となる関数である.

次のような表現を使用して,

$$\delta_{t} {\cal A} \equiv \frac{1}{2 \Delta t} \left( {\cal A}^{t+\Delta t} - {\cal A}^{t-\Delta t} \right)$$ (67)

$$\overline{\cal A}^{t} \equiv \frac{1}{2} \left( {\cal A}^{t+\Delta t} + {\cal A}^{t-\Delta t} \right)$$

$$= {\cal A}^{t-\Delta t} + \delta_{t} {\cal A} \Delta t ,$$ (68)

方程式系に semi-implicit 法を適用すると,

$$\delta_{t} \pi = \left( \DP{\pi}{t} \right)_{NG} - \Dvect{C} \cdot \overline{ \Dvect{D} }^{t}$$ (69)

$$\delta_{t} \Dvect{D} = \left( \DP{\Dvect{D}}{t} \right)_{N... ...( \Dvect{D}^{t-\Delta t} + 2 \Delta t \delta_{t} \Dvect{D} )$$ (70)

$$\delta_{t} \Dvect{T} = \left( \DP{\Dvect{T}}{t} \right)_{N... ... ( \Dvect{T}^{t-\Delta t} + 2 \Delta t \delta_{t} \Dvect{T} )$$ (71)

すると,

$$\left\{ ( 1-2\Delta t {\cal D}_H )( 1-2\Delta t {\cal D}_M ) \und... ...vect{G} \Dvect{C}^{T} ) \nabla^{2}_{\sigma} \right\} \overline{ \Dvect{D} }^{t}$$

$$= ( 1-2\Delta t {\cal D}_H )( 1-\Delta t {\cal D}_M ) \Dvect{D}^{... ... t} + ( 1-2\Delta t {\cal D}_H ) \Delta t \left( \DP{\Dvect{D}}{t} \right)_{NG}$$

$$- \Delta t \nabla^{2}_{\sigma} \left\{ ( 1-2\Delta t {\cal D}_H )... ...}^{t-\Delta t} + \Delta t \left( \DP{\Dvect{T}}{t} \right)_{NG} \right] \right.$$

$$\left. \hspace*{20mm} + ( 1-2\Delta t {\cal D}_H ) \Dvect{G} \left[ \pi^{t-\Delta t} + \Delta t \left( \DP{\pi}{t} \right)_{NG} \right] \right\} .$$ (72)

球面調和関数展開を用いているので,

$$\nabla^{2}_{\sigma} = - \frac{n(n+1)}{a^{2}}$$

であり上式を $\overline{ \Dvect{D}_n^m }^{t}$ について解くことができる. その後,

$$D^{t+\Delta t} = 2\overline{ \Dvect{D} }^{t} - D^{t-\Delta t}$$ (73)

および, (3.52), (3.54) により$t+\Delta t$ における値 $\hat{\cal A}^{t+\Delta t}$ が求められる.

... 基礎方程式を鉛直方向に差分によって離散化する⁹