: B. 乱流パラメタリゼーション : 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化 : 2. 参考文献

A. 準圧縮方程式系の導出

A.1 基礎方程式

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾首鞜�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就昂箒羂箏盥粐⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵と湿首鞜�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就梓街教幹過翫⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵の分子量の差は密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような系を考える. この系では大気の熱エネルギーは乾燥大気の熱エネルギーで決まることになる. このような系では温位 $\theta$ が保存量として使える.

A.1.1 気温 , 密度 $\rho$ , 風速を予報変数とする場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を気温 , 圧力 , 風速 , 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.

運動方程式

		$\displaystyle \DD{u}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{x} = Turb.u$	(A.1)
		$\displaystyle \DD{w}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{z} = -g + Turb.w$	(A.2)

連続の式

$\displaystyle \DD{\rho}{t} + \rho\left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z}\right) = 0$

(A.3)

密度の式(状態方程式)

$\displaystyle \rho = \frac{p}{R_{d} T_{v}}$

(A.4)

熱の式

$\displaystyle {c_{p}}_{d}\DD{T}{t} - \Dinv{\rho_{d}} \DD{p}{t} = Q + Turb.T$

(A.5)

�$B6E=L@.J,$N:.9gHfJ]B8<0

		$\displaystyle \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}$	(A.6)
		$\displaystyle \DD{q_{c}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}$	(A.7)
		$\displaystyle \DD{q_{r}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$	(A.8)

ここで $R_{d}$ , ${c_{p}}_{d}$ , $\rho_{d}$ は単位質量当たりの乾燥成分の気体定数, 定圧比熱, 密度であり,

は非断熱加熱, $q_{v}$ �$B$O5$BN@.J,$N:.9gHf, $q_{c}$ は雲水混合比, $q_{r}$ は雨水混合比である. $q_{v}, q_{r}, q_{c}$ は, �$B6E=L@.J,$N?t$@$1B8:_$9$k.

を付けた項はそれぞれ拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する.

密度の室齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就教亀官峨官過騎屋妓温乙癌我⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵の混合比が考慮されている.

$\displaystyle \rho$	$\textstyle =$	$\displaystyle \rho_{d} + \sum \rho_{v} + \sum \rho_{c} + \sum \rho_{r}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \rho_{d} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} ).$	(A.9)

ただし, $q_v = \rho_v/\rho_{d}$ , $q_{c}$ , $q_{r}$ はそれぞれ, 凝縮性気体, 雲水, 雨水の混合比を意味する. ここで乾首鞜�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就教牡芦乙癌我⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵の分圧 $p_{d}$ は.

$\displaystyle p_{d}$	$\textstyle =$	$\displaystyle p \left( 1 - \frac{\sum p_{v}}{p} \right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle p \left( 1 - \frac{\sum p_{v}}{p_{d} + \sum p_{v} }\right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle p \left( 1 - \frac{\sum \rho_{v} R_{v} T}{\rho_{d} R_{d}T + \sum \rho_{v} R_{v} T }\right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle p \left( 1 - \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right)$

となるので,

$\displaystyle \rho_{d} = \frac{p_{d}}{R_{d} T} = \frac{p}{R_{d} T} \left(\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right)$

(A.10)

である. 但し

は分子量を表し, �$B6E=L@.J,$NBN@Q$OL5;k$G$-$k$b$N$H8+$J$7$?. (A.9), (A.10) 式より,

$\displaystyle \rho$

$\textstyle =$

$\displaystyle \frac{p}{R_{d}T} \left( \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right) (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} )$

(A.11)

となる.

$\displaystyle f \equiv \left(\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right) (1 + \sum q_{v} + \sum q_{x} )$

と定義すると, (A.11) 式は以下のように書ける.

$\displaystyle \rho$

$\textstyle =$

$\displaystyle \frac{p}{R_{d} (T/f)}$

(A.12)

また, 温位とエクスナー関数を用いて表現すると,

$\displaystyle \rho$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{p}{R_{d} \pi (\theta /f )}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} (\theta/f)}$	(A.13)

である. 但しエクスナー関数 $\pi$ は $\pi = T/\theta$ の関係を満たす.

温位は乾燥断熱状態における保存量である. 乾燥断熱状態を表す熱力学の式は

$\displaystyle c_{p}dT - \alpha dp = 0$

(A.14)

である. ここで

は温度,

は圧力, $c_{p}$ は単位質量当たりの比熱, $\alpha$ は比容である. (A.14) 式の $\alpha$ は, 理想気体の状態方程式を用いると,

$\displaystyle \alpha = \frac{RT}{p}$

(A.15)

と書ける. ここで

は分子量,

は気体定数である. (A.14) 式に (A.15) 式を代入し整理すると,

$\displaystyle \frac{c_{p}}{T}dT - \frac{R}{p} dp = 0$

(A.16)

となる. 凝縮を生じない場合には気塊の組成は変化しないので $c_{p}$ と

は共に

に依存しない. 一般に $c_{p}$ は

の関数であるが, $c_{p}$ を定数とみなすと,

$\displaystyle \int^{T_{0}}_{T} \Dinv{T}dT$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{R}{c_{p}} \int^{p_{0}}_{p} \Dinv{p} dp$
$\displaystyle \ln{(T_{0}/T)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{R}{c_{p}} \ln{(p_{0}/p)}$
$\displaystyle \theta$	$\textstyle =$	$\displaystyle T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^\frac{R}{c_{p}}$	(A.17)

となり, 温位が得られる.

A.1.2 温位 $\theta$ , 圧力 , 風速を予報変数とする場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を温位 $\theta$ , 圧力 , 風速 , 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. CReSS(坪木と榊原, 2001)では, この基礎方程式を用いている.

運動方程式

		$\displaystyle \DD{u}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{x} = Turb.u$	(A.18)
		$\displaystyle \DD{w}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{z} = -g + Turb.w$	(A.19)

圧力方程式

$\displaystyle \DD{p}{t} = \rho {C_{s}}^{2} \left\{ - \Ddiv{\Dvect{u}} + \Dinv{\... ...\DP{f}{q_{c}} \DD{q_{c}}{t} + \sum \DP{f}{q_{r}} \DD{q_{r}}{t} \right) \right\}$

(A.20)

密度の式(状態方程式)

$\displaystyle \rho = \frac{p_{0}}{R_{d} \theta_{v}} \left( \frac{p}{p_{0}}\right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}$

(A.21)

熱の式

$\displaystyle \DD{\theta}{t} = Q + Turb.\theta$

(A.22)

�$B6E=L@.J,$N:.9gHf$NJ]B8<0

		$\displaystyle \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}$	(A.23)
		$\displaystyle \DD{q_{c}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}$	(A.24)
		$\displaystyle \DD{q_{r}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$	(A.25)

ただし温位 $\theta$ は

$\displaystyle \theta \equiv T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}}$

(A.26)

であり, 仮温位 $\theta_{v}$ は,

$\displaystyle \theta_{v} \equiv \frac{\theta}{f}$

(A.27)

である. 音速 $C_{s}$ は

$\displaystyle {C_{s}}^{2} \equiv \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} T_{v} = \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \frac{T}{f}$

(A.28)

である. ${c_{p}}_{d}$ と ${c_{v}}_{d}$ はそれぞれ単位質量当たりの乾燥成分の定圧比熱と定積比熱であり, ${c_{v}}_{d} + R_{d} = {c_{p}}_{d}$ という関係にある.

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を $\rho= \rho(\theta,p,q_{v},q_{x})$ として $\rho$ の全微分を求める.

$\displaystyle d\rho$	$\textstyle =$	$\displaystyle d \left[ \frac{p_{0}}{R_{d} \theta_{v}} \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle d \left[ \frac{p_{0}}{R_{d} (\theta / f) } \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{p_{0} }{R_{d} (\theta/f)} \frac{{c_{v}}_{d}}{{c_{p}}_{d}} \... ...t( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \frac{d\theta}{\theta^{2}}$
		$\displaystyle + \frac{p_{0}}{R_{d} \theta} \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{... ...{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right\}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \Dinv{{C_{s}}^{2}} dp - \frac{\rho}{\theta} d\theta + \sum \frac{... ... \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r}$	(A.29)

となる. (A.29) 式を圧力の式として整理すると,

$\displaystyle \DD{p}{t} = {C_{s}}^{2} \left( \DD{\rho}{t} + \frac{\rho}{\theta}... ...rho}{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c} - \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$

であり, 連続の式を用いると,

$\displaystyle \DD{p}{t} = \rho {C_{s}}^{2} \left( - \Ddiv \Dvect{u} + \Dinv{\th... ...\sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c} - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$

となり, 圧力方程式が得られる.

A.1.3 温位 $\theta$ , 無次元圧力 $\pi$ , 風速を予報変数とする場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を温位 $\theta$ , 無次元圧力 $\pi$ , 風速 , 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. 連続の式 (A.3) と状態方程式 (A.21) を用いることで得られる圧力方程式を利用する. Klemp and Willhelmson (1978)では, この基礎方程式を用いている.

運動方程式

		$\displaystyle \DD{u}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{x} = Turb.u$	(A.30)
		$\displaystyle \DD{w}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{z} = -g + Turb.w$	(A.31)

圧力方程式

$\displaystyle \DD{\pi}{t} = \frac{{C_{s}}^{2}}{ {c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} } \... ...\DP{f}{q_{c}} \DD{q_{c}}{t} + \sum \DP{f}{q_{r}} \DD{q_{r}}{t} \right) \right\}$

(A.32)

状態方程式

$\displaystyle \rho = \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} \theta_{v}}$

(A.33)

熱の式

$\displaystyle \DD{\theta}{t} = Q + Turb.\theta$

(A.34)

水蒸気および水物質混合比の式

		$\displaystyle \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}$	(A.35)
		$\displaystyle \DD{q_{x}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}$	(A.36)
		$\displaystyle \DD{q_{x}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{x} + Turb.q_{r}$	(A.37)

ただし, エクスナー関数 $\pi$ は,

$\displaystyle \pi \equiv \frac{T}{\theta} = \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}}$

(A.38)

であり, 音速 $C_{s}$ は

$\displaystyle {C_{s}}^{2} \equiv \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi \theta_{v} = \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi \left( \frac{\theta}{f} \right)$

(A.39)

である.

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる.

$\displaystyle \Dinv{\rho} dp$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{R_{d} \pi (\theta/f)}{p} d \left( p_{0} \pi^{{c_{p}}_{d}/R_{d}} \right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{R_{d} \pi (\theta/f) }{p} \left( \frac{p_{0} {c_{p}}_{d}}{R_{d}} \pi^{{c_{p}}_{d}/R - 1} \right) d\pi$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{R_{d} \pi (\theta/f) }{p} \left( \frac{{c_{p}}_{d}}{R_{d}} p \pi^{-1} \right)d\pi$
	$\textstyle =$	$\displaystyle {c_{p}}_{d} (\theta/f) d\pi$
	$\textstyle =$	$\displaystyle {c_{p}}_{d} \theta_{v} d\pi$	(A.40)

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を $\rho= \rho(\theta, \pi, q_{v}, q_{x})$ として $\rho$ の全微分を計算する.

$\displaystyle d\rho$	$\textstyle =$	$\displaystyle d \left[ \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}}}{R_{d} \theta_{v}} \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle d \left[ \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}}}{R_{d} (\theta/f)} \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{p_{0}}{R_{d} (\theta/f) } \pi^{(c_{v/R_{d}}-1)} \frac{{c_{v... ..._{d}} d\pi - \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} f}{R_{d}} \frac{d\theta}{\theta^{2}}$
		$\displaystyle + \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} \theta} \left( \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle {c_{p}}_{d} (\theta/f) \left( \frac{{c_{v}}_{d}}{{c_{p}}_{d} R_{d... ...d\pi - \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta/f)} \frac{d\theta}{\theta}$
		$\displaystyle + \Dinv{f} \left( \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta /... ...}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{ {c_{p}}_{d} \rho (\theta/f)}{{C_{s}}^{2} } d\pi - \frac{\r... ...}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{ {c_{p}}_{d} \rho \theta_{v}}{{C_{s}}^{2} } d\pi - \frac{\r... ...}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right)$	(A.41)

となる. (A.41) 式を圧力の式として整理すると,

$\displaystyle \DD{\pi}{t} = \frac{{C_{s}}^{2} }{{c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} } \... ...dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \right\}$

(A.42)

となり, 連続の式を用いると,

$\displaystyle \DD{\pi}{t} = \frac{{C_{s}}^{2} }{{c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} } \... ...dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \right\}$

(A.43)

となり, 圧力方程式が得られる.

A.2 準圧縮方程式系の導出

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

A.2.1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

		$\displaystyle u = u^{'}(x,z,t)$
		$\displaystyle w = w^{'}(x,z,t)$
		$\displaystyle \pi = \bar{\pi}(z) + \pi^{'}(x,z,t)$
		$\displaystyle \theta_{v} = \bar{\theta_{v}}(z) + {\theta_{v}}^{'}(x,z,t)$
		$\displaystyle \rho = \bar{\rho}(z) + \rho^{'}(x,z,t)$
		$\displaystyle q_{v} = \bar{q_{v}}(z) + q_{v}^{'}(x,z,t)$
		$\displaystyle q_{r} = q_{r}^{'}(x,z,t)$
		$\displaystyle q_{c} = q_{c}^{'}(x,z,t)$

但し, $\theta_{v} = \theta/f$ とし, 基本場の風速

と雲粒混合比と雨粒混合はゼロと見なした. そして基本場には静水圧平衡,

$\displaystyle \DP{\bar{\pi}}{z} = - \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} = - \frac{g}{{c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})}$

(A.44)

の関係が成り立つものとする.

A.2.2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$\displaystyle \DP{u^{'}}{t} = - \left( u^{'} \DP{u^{'}}{x} + w^{'} \DP{u^{'}}{z... ..._{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{x} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{x} \right) + Turb.u$

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は

方向には変化しないことを利用すると, 以下の昭齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就籵瘁攻痰高羌恒⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵の式が得られる.

$\displaystyle \DP{u^{'}}{t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle - \left( u^{'} \DP{u^{'}}{x} + w^{'} \DP{u^{'}}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x} + Turb.u$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - \left( u^{'} \DP{u^{'}}{x} + w^{'} \DP{u^{'}}{z} \right) -{c_{p}}_{d} \left( \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}\right) \DP{\pi^{'}}{x} + Turb.u$	(A.45)

ここで $\bar{f}$ は,

$\displaystyle \bar{f} = {\left( 1 - \frac{\sum \bar{q_{v}}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \bar{q_{v}}/M_{v}} \right) (1 + \sum \bar{q_{v}} )}$

(A.46)

である.

A.2.3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$\displaystyle \DP{w^{'}}{t} = - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + w^{'} \DP{w^{'}}{z... ...}^{'} \DP{\bar{\pi}}{z} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{z} \right) - g + Turb.w$

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.

$\displaystyle \DP{w^{'}}{t} = - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + w^{'} \DP{w^{'}}{z... ...v}} \DP{\pi^{'}}{z} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{z} \right) - g + Turb.w .$

さらに静水圧の式を利用すると以下となる.

$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) + {c_{... ...eta_{v}}^{'} \left( \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} \right) - g + Turb.w$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) - {c_{... ...eta_{v}} \DP{\pi^{'}}{z} + \frac{{\theta_{v}}^{'}}{\bar{\theta_{v}}} g + Turb.w$

ここで ${\theta_{v}}^{'}$ は,

$\displaystyle {\theta_{v}}^{'}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \Dinv{f} \left\{ \theta^{'} - \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{v}}... ...DP{f}{q_{c}} q_{c}^{'} - \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{r}} q_{r}^{'} \right\}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \Dinv{f} \left\{ \frac{\theta^{'}}{\theta} - \sum \Dinv{f} \DP{f}... ...inv{f} \DP{f}{q_{c}} q_{c}^{'} - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{r}} q_{r}^{'} \right\}$	(A.47)

であり, (A.47) 式の第 2 項を計算すると,

$\displaystyle \sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{v}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} ... ...{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{v}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}$
		$\displaystyle \left[ \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} - \left\{ \frac... ...m q_{v}/M_{v})^{2}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}) \right\} \right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} - \frac{\sum 1/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}$

であり, (A.47) 式の第 3 項を計算すると,

$\displaystyle \sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{c}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} ... ...{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{c}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}$

であり, (A.47) 式の第 4 項を計算すると,

$\displaystyle \sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{r}}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} ... ...{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{r}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}$

となるので,

$\displaystyle {\theta_{v}}^{'} = \Dinv{f} \left\{ \frac{\theta^{'}}{\theta} + \... ...q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}} {1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} \right\}$

(A.48)

である. ここで昭齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就係姐概宛蓋偽害⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵首鞜�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就九玩憶牡輝妓恰峨完牡⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵に比べて十分に小さいので, �$BA4NL$rJ?6Q@.J,$KCV$-49$($k$3$H$G,

$\displaystyle {\theta_{v}}^{'} = \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} \left\{ \frac{\th... ...um q_{v}^{'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right\}$

(A.49)

となる. これを用いると, 昭齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就薫葦割旭外球梶⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵の速度

の式は以下のように書ける.

$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{z}$
		$\displaystyle + \left( \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}} + \frac{\sum q_{v}^{'}/M... ...'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right) g + Turb.w$

A.2.4 圧力方程式の線形化

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と凝縮に伴う圧力変化を無視し,

$\displaystyle \DD{\pi}{t} = - \frac{{C_{s}}^{2}}{ {c_{p}}_{d} (\theta/f)} \Ddiv \Dvect{u}$

として定式化した. 本モデルで考える系では, �$B6E=L@.J,$,==J,$K>.$5$$$N$G, この近似を用いることとした.

圧力方程式に関して, �$BJ?6Q@.J,$H>qMp@.J,$KJ,$1$k. ただし, 昭齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就禪盥元盡幻絛顕⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵は平均成分よりも十分小さいという仮定を用い, $1/\theta = 1/\bar{\theta}$ , $1/f = 1/\bar{f}$ とする.

$\displaystyle \DP{\bar{\pi} + \pi^{'}}{t} + u^{'} \DP{\bar{\pi}+\pi^{'}}{x} + w... ...verline{{C_{s}}^{2} }}{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})} \Ddiv \Dvect{u^{'}}$

上式では ${C_{s}}^{2}$ �$B$rJ?6Q@.J,$H>qMp@.J,$KJ,N%$7$F 2 次の微小項を無視すると, $\overline{{C_{s}}^{2}}$ と等しくなることを利用している.

$\displaystyle {C_{s}}^{2}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} (\bar{\pi} + \pi^{'}) \left( \frac{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{\bar{f}} \right)$
	$\textstyle \approx$	$\displaystyle \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \left( \bar{\pi} \frac{\bar... ...{\pi} \frac{\theta^{'}}{\bar{f}} + \pi^{'} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} \right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \bar{\pi} \frac{\bar{\theta... ...left( 1 + \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}} + \frac{ \pi^{'} }{\bar{\pi}} \right)$
	$\textstyle \approx$	$\displaystyle \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \bar{\pi} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} \equiv \overline{{C_{s}}^{2}}$	(A.50)

ただし $\theta^{'}/\bar{\theta} \ll 1$ , $\pi^{'}/\bar{\pi} \ll 1$ であることを用いた. �$BJ?6Q@.J,$O

にのみ依存することを利用し, また 2 次の微小項を無視する.

$\displaystyle \DP{\pi^{'}}{t} = - w^{'} \DP{\bar{\pi}}{z} - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}} }{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta} /\bar{f})} \Ddiv \Dvect{u^{'}}$

さらに $\pi$ を理想気体の状態方程式で変形してまとめると, 圧力の昭齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就亀牡姥乙欝撃掩⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵の時間発展方程式が得られる.

$\displaystyle \DP{\pi^{'}}{t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle - w^{'} \DP{}{z} \left( \frac{\bar{\rho} R_{d}(\bar{\theta}/\bar{... ...{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})} \left( \DP{ u^{'}}{x} + \DP{ w^{'}}{z} \right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - w^{'} \frac{R_{d}}{{c_{v}}_{d}} \bar{\pi} \Dinv{\left( \frac{\b... ...c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})} \left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} (\bar{\the... ...o} (\bar{\theta}/\bar{f}) \left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right) \right\}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} (\bar{\the... ...f})^{2}} \Ddiv \left\{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u^{'}} \right\}$

以上より,

$\displaystyle \DP{\pi^{'}}{t}= - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar... ...f})^{2}} \Ddiv \left\{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u^{'}} \right\}$

(A.51)

である.

A.2.5 熱の式の線形化

熱の室齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就宜狭隙霞嘘橋倶宛厩祁嘘⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵と昭齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就羌鹸盡元盖籵砌⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵に分離する.

$\displaystyle \DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{t} = - u^{'}\DP{(\bar{\theta} + ... ...w^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{x} + Q + Turb.(\bar{\theta} + \theta^{'})$

ここで平均場の量は

の関数であることを用いると,

$\displaystyle \DP{\theta^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{\theta^{'}}{x} + w^{'}\DP{... ...} \right) - w^{'}\DP{\bar{\theta}}{x} + Q + Turb.\bar{\theta} + Turb.\theta^{'}$

(A.52)

となる.

A.2.6 混合比の保存式の線形化

�$B6E=L@.J,$N:.9gHf$NJ]B8<0$K$D$$$F$b, �$BJQ?t$rJ?6Q@.J,$H>qMp@.J,$KJ,N%$9$k. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 声齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就畊恒綛厳弘⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤鉦, 落下項は昭齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就患慨宛概圧金井⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵のみ存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝縮は生じていないと考えることに等しい.

		$\displaystyle \DP{q_{v}^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{q_{v}^{'}}{x} + w^{'}\DP{q_... ...- w^{'}\DP{\bar{q_{v}}}{x} + Src.q_{v}^{'} + Turb.\bar{q_{v}} + Turb.q_{v}^{'},$	(A.53)
		$\displaystyle \DP{q_{c}^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{q_{c}^{'}}{x} + w^{'}\DP{q_{c}^{'}}{x} \right) + Src.q_{c}^{'} + Turb.q_{c}^{'},$	(A.54)
		$\displaystyle \DP{q_{r}^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{q_{r}^{'}}{x} + w^{'}\DP{q_{r}^{'}}{x} \right) + Src.q_{r}^{'} + Fall.q_{r}^{'} + Turb.q_{r}^{'}$	(A.55)

但し雲水量と雨水量は昭齔瘤�竚癈鷭∂焜聨纃瘟赧漓�籬�㏍聽轣蛹就恰翫群贋傑臼卦⊂桿轣蛹Γ蔚飴頏阡繝�籟鹿齔瘤宵のみの量である.

A.3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる. ただし, 擾乱を示す $~^{'}$ は除いた.

運動方程式

$\displaystyle \DP{u}{t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle - \left( u \DP{u}{x} + w \DP{u}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x} + Turb.u$	(A.56)
$\displaystyle \DP{w}{t}$	$\textstyle =$	$\displaystyle - \left( u \DP{w}{x} + w \DP{w}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x} + Turb.w$
		$\displaystyle + \left( \frac{\theta}{\bar{\theta}} + \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/... ... - \frac{\sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right) g$	(A.57)

圧力方程式

$\displaystyle \DP{\pi}{t}= - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rh... ...bar{f})^{2}} \Ddiv \left\{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u} \right\}$

(A.58)

熱の式

$\displaystyle \DP{\theta}{t} = - \left( u\DP{\theta}{x} + w\DP{\theta}{x} \right) - w\DP{\bar{\theta}}{x} + Q + Turb.\bar{\theta} + Turb.\theta$

(A.59)

�$B6E=L@.J,$N:.9gHf$NJ]B8<0

		$\displaystyle \DP{q_{v}}{t} = - \left( u\DP{q_{v}}{x} + w\DP{q_{v}}{x} \right) - w\DP{\bar{q_{v}}}{x} + Src.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}} + Turb.q_{v},$	(A.60)
		$\displaystyle \DP{q_{c}}{t} = - \left( u\DP{q_{c}}{x} + w\DP{q_{c}}{x} \right) + Src.q_{c} + Turb.q_{c},$	(A.61)
		$\displaystyle \DP{q_{r}}{t} = - \left( u\DP{q_{r}}{x} + w\DP{q_{r}}{x} \right) + Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$	(A.62)

: B. 乱流パラメタリゼーション : 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化 : 2. 参考文献

Odaka Masatsugu 平成20年6月27日