2.3 静的安定度

静的安定度の式 (10) に (13) 式 を代入することで得られた式,

$$N^{2} = \frac{g}{T} \left( \DD{T}{z} + \frac{M g}{c_{p}} \right) - \frac{ g (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X}{z},$$

にクラウジウス・クラペイロンの式 (31) を

$$\DD{X}{z} = \frac{ \lambda X }{ R T^{2}} \DD{T}{z} + \frac{M g X}{ R T}$$

のように変形して代入すると,

$$N^{2} = \frac{g}{T} \left( \DD{T}{z} + \frac{M g}{c_{p}} \right) - \frac{... ...{M} \left( \frac{ \lambda X }{ R T^{2}} \DD{T}{z} + \frac{M g X}{ R T} \right),$$

$$= \frac{g}{T} \left[ \frac{M g}{c_{p}} + \DD{T}{z} \left\{ 1 - \fra... ... T} \right\} \right] - \frac{g}{T} \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M} \frac{M g X}{ R }$$ (40)

となる. 平均分子量と平均比熱を (13), (14) 式を用い て表現すると, 静的安定度は以下のように変形できる.

$$N^{2} = \frac{g}{T} \left[ \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} \left\{ \frac{ 1 +... ...}} {M_{d} \left\{ 1 + \frac{(M_{v} - M_{d})X}{M_{d}} \right\}} \right\} \right]$$

$$- \frac{g}{T} \frac{ (M_{v} - M_{d}) g X}{ R }.$$ (41)

mail protected],$,>/$J$$$H$9$k6a;w<0$H mail protected],$,B?$$$H$9$k6a;w<0$bJ;$;$FF3=P$9$k. その導出は以下の通りである.

mail protected],$,>/$J$$6a;w

 
(40) 式に (26), (36), (37) 式を 代入する. その結果, mail protected],$,>/$J$$>l9g$N@EE*0BDjEY$N6a;w<0$,F@$i$l$k.

$$N^{2} \approx \frac{g}{T} \left[ \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} - \frac{M_{d} g}{{... ...\{ 1 - \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \frac{ \lambda X }{ R T} \right\} \right]$$

$$- \frac{g}{T} \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \frac{M_{d} g X}{ R }$$

$$\approx \frac{M_{d} g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} \left\{ \frac{\lambda X}{{c_{p}... ...g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \frac{ {c_{p}}_{d} X}{ R }$$

$$= \frac{M_{d} g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} \left( \frac{ \lambda}{ R T} - ... ...{M_{d}} \left( 1 - \frac{\lambda^{2} X}{{c_{p}}_{d} R T^{2}} \right) \right\} X$$

$$\approx \frac{M_{d} g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} \left( \frac{ \lambda}{ R T} - ... ...left( \frac{\lambda}{{c_{p}}_{d} T} + \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \right) X.$$ (42)

mail protected],$,B?$$6a;w

 
(40) 式に (28), (38), (39) 式を代入する. その結果, mail protected],$,B?$$>l9g$N@EE*0BDjEY$N6a;w<0$,F@$i$l$k.

$$N^{2} \approx \frac{g}{T} \left[ \frac{M_{v} g}{{c_{p}}_{v}} - \frac{M_{v} g T}... ...}{ R T} \right\} - \frac{ (M_{v} - M_{v})}{M_{v}} \frac{M_{v} g X}{ R } \right]$$

$$= \frac{g}{T} \left[ \frac{M_{v} g}{{c_{p}}_{v}} \left( 1 - \frac{{... ...lambda X }{ R T} - \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{v}} \frac{M_{v} g X}{ R } \right]$$

$$= \frac{M_{v} g^{2}}{{c_{p}}_{v} T} \left( 1 - \frac{{c_{p}}_{v} T}{\lambda} \right)$$ (43)